六种算法思想

递归算法#

算法策略#

递归算法是一种直接或者间接调用自身函数或者方法的算法。

递归算法的实质是把问题分解成规模缩小的同类问题的子问题，然后递归调用方法来表示问题的解。递归算法对解决一大类问题很有效，它可以使算法简洁和易于理解。

优缺点：

优点：实现简单易上手
缺点：递归算法对常用的算法如普通循环等，运行效率较低；并且在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储，递归太深，容易发生栈溢出。

适用场景#

递归算法一般用于解决三类问题：

数据的定义是按递归定义的。（斐波那契数列）
问题解法按递归算法实现。（回溯）
数据的结构形式是按递归定义的。（树的遍历，图的搜索）

递归的解题策略：

第一步：明确你这个函数的输入输出，先不管函数里面的代码什么，而是要先明白，你这个函数的输入是什么，输出为何什么，功能是什么，要完成什么样的一件事。
第二步：寻找递归结束条件，我们需要找出什么时候递归结束，之后直接把结果返回
第三步：明确递归关系式，怎么通过各种递归调用来组合解决当前问题

使用递归算法求解的一些经典问题#

斐波那契数列
汉诺塔问题
树的遍历及相关操作

DOM 树为例#

下面以以 DOM 树为例，实现一个 document.getElementById 功能

由于 DOM 是一棵树，而树的定义本身就是用的递归定义，所以用递归的方法处理树，会非常地简单自然。

第一步：明确你这个函数的输入输出

从 DOM 树根节点一层层往下递归，判断当前节点的 id 是否是我们要寻找的 id='d-cal'

输入：DOM 树根节点 document ，我们要寻找的 id='d-cal'

输出：返回满足 id='sisteran' 的子结点

function getElementById(node, id){}

第二步：寻找递归结束条件

从 document 开始往下找，对所有子结点递归查找他们的子结点，一层一层地往下查找：

如果当前结点的 id 符合查找条件，则返回当前结点
如果已经到了叶子结点了还没有找到，则返回 null

function getElementById(node, id){
    // 当前结点不存在，已经到了叶子结点了还没有找到，返回 null
    if(!node) return null
    // 当前结点的 id 符合查找条件，返回当前结点
    if(node.id === id) return node
}

第三步：明确递归关系式

当前结点的 id 不符合查找条件，递归查找它的每一个子结点

function getElementById(node, id){
    // 当前结点不存在，已经到了叶子结点了还没有找到，返回 null
    if(!node) return null
    // 当前结点的 id 符合查找条件，返回当前结点
    if(node.id === id) return node
    // 前结点的 id 不符合查找条件，继续查找它的每一个子结点
    for(var i = 0; i < node.childNodes.length; i++){
        // 递归查找它的每一个子结点
        var found = getElementById(node.childNodes[i], id);
        if(found) return found;
    }
    return null;
}

就这样，我们的一个 document.getElementById 功能已经实现了：

function getElementById(node, id){
    if(!node) return null;
    if(node.id === id) return node;
    for(var i = 0; i < node.childNodes.length; i++){
        var found = getElementById(node.childNodes[i], id);
        if(found) return found;
    }
    return null;
}
getElementById(document, "d-cal");

使用递归的优点是代码简单易懂，缺点是效率比不上非递归的实现。Chrome 浏览器的查 DOM 是使用非递归实现。非递归要怎么实现呢？如下代码：

function getByElementId(node, id){
    //遍历所有的Node
    while(node){
        if(node.id === id) return node;
        node = nextElement(node);
    }
    return null;
}

还是依次遍历所有的 DOM 结点，只是这一次改成一个 while 循环，函数 nextElement 负责找到下一个结点。所以关键在于这个 nextElement 如何实现非递归查找结点功能：

// 深度遍历
function nextElement(node){
    // 先判断是否有子结点
    if(node.children.length) {
        // 有则返回第一个子结点
        return node.children[0];
    }
    // 再判断是否有相邻结点
    if(node.nextElementSibling){
        // 有则返回它的下一个相邻结点
        return node.nextElementSibling;
    }
    // 否则，往上返回它的父结点的下一个相邻元素，相当于上面递归实现里面的for循环的i加1
    while(node.parentNode){
        if(node.parentNode.nextElementSibling) {
            return node.parentNode.nextElementSibling;
        }
        node = node.parentNode;
    }
    return null;
}

在控制台里面运行这段代码，同样也可以正确地输出结果。不管是非递归还是递归，它们都是深度优先遍历。实际上 getElementById 浏览器是用的一个哈希 map 存储的，根据 id 直接映射到 DOM 结点，而 getElementsByClassName 就是用的这样的非递归查找。

分治算法#

算法策略#

在计算机科学中，分治算法是一个很重要的算法，快速排序、归并排序等都是基于分治策略进行实现的，所以，建议理解掌握它。

分治，顾名思义，就是 分而治之 ，将一个复杂的问题，分成两个或多个相似的子问题，在把子问题分成更小的子问题，直到更小的子问题可以简单求解，求解子问题，则原问题的解则为阿子问题解的合并。

适用场景#

当出现满足以下条件的问题，可以尝试只用分治策略进行求解：

原始问题可以分成多个相似的子问题
子问题可以很简单的求解
原始问题的解是子问题解的合并
各个子问题是相互独立的，不包含相同的子问题

分治的解题策略：

第一步：分解，将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题
第二步：解决，解决各个子问题
第三步：合并，将各个子问题的解合并为原问题的解

使用分治法求解的一些经典问题#

二分查找
归并排序
快速排序
汉诺塔问题
React 时间分片

二分查找#

也称折半查找算法，它是一种简单易懂的快速查找算法。例如我随机写 0-100 之间的一个数字，让你猜我写的是什么？你每猜一次，我就会告诉你猜的大了还是小了，直到猜中为止。

第一步：分解

每次猜拳都把上一次的结果分出大的一组和小的一组，两组相互独立

选择数组中的中间数

function binarySearch(items, item) {
    // low、mid、high将数组分成两组
    var low = 0,
        high = items.length - 1,
        mid = Math.floor((low+high)/2),
        elem = items[mid]
    // ...
}

第二步：解决子问题

查找数与中间数对比

比中间数低，则去中间数左边的子数组中寻找；
比中间数高，则去中间数右边的子数组中寻找；
相等则返回查找成功

while(low <= high) {
 if(elem < item) { // 比中间数高
  low = mid + 1
 } else if(elem > item) { // 比中间数低
  high = mid - 1
 } else { // 相等
     return mid
 }
}

第三步：合并

function binarySearch(items, item) {
    var low = 0,
        high = items.length - 1,
        mid, elem
    while(low <= high) {
        mid = Math.floor((low+high)/2)
        elem = items[mid]
        if(elem < item) {
            low = mid + 1
        } else if(elem > item) {
            high = mid - 1
        } else {
            return mid
        }
    }
    return -1
}

最后，二分法只能应用于数组有序的情况，如果数组无序，二分查找就不能起作用了

function binarySearch(items, item) {
    // 快排
    quickSort(items)
    var low = 0,
        high = items.length - 1,
        mid, elem
    while(low <= high) {
        mid = Math.floor((low+high)/2)
        elem = items[mid]
        if(elem < item) {
            low = mid + 1
        } else if(elem > item) {
            high = mid - 1
        } else {
            return mid
        }
    }
    return -1
}

// 测试
var arr = [2,3,1,4]
binarySearch(arr, 3)
// 2

binarySearch(arr, 5)
// -1

贪心算法#

算法策略#

贪心算法，故名思义，总是做出当前的最优选择，即期望通过局部的最优选择获得整体的最优选择。

某种意义上说，贪心算法是很贪婪、很目光短浅的，它不从整体考虑，仅仅只关注当前的最大利益，所以说它做出的选择仅仅是某种意义上的局部最优，但是贪心算法在很多问题上还是能够拿到最优解或较优解，所以它的存在还是有意义的。

适用场景#

在日常生活中，我们使用到贪心算法的时候还是挺多的，例如：

从 100 章面值不等的钞票中，抽出 10 张，怎样才能获得最多的价值？

我们只需要每次都选择剩下的钞票中最大的面值，最后一定拿到的就是最优解，这就是使用的贪心算法，并且最后得到了整体最优解。

但是，我们任然需要明确的是，期望通过局部的最优选择获得整体的最优选择，仅仅是期望而已，也可能最终得到的结果并不一定不能是整体最优解。

那么一般在什么时候可以尝试选择使用贪心算法喃？

当满足一下条件时，可以使用：

原问题复杂度过高
求全局最优解的数学模型难以建立或计算量过大
没有太大必要一定要求出全局最优解，“比较优” 就可以

如果使用贪心算法求最优解，可以按照以下 步骤求解 ：

首先，我们需要明确什么是最优解（期望）
然后，把问题分成多个步骤，每一步都需要满足：
可行性：每一步都满足问题的约束
局部最优：每一步都做出一个局部最优的选择
不可取消：选择一旦做出，在后面遇到任何情况都不可取消
最后，叠加所有步骤的最优解，就是全局最优解

经典案例：活动选择问题#

使用贪心算法求解的经典问题有：

最小生成树算法
单源最短路径的 Dijkstra 算法
Huffman 压缩编码
背包问题
活动选择问题等

回溯算法#

算法策略#

回溯算法是一种搜索法，试探法，它会在每一步做出选择，一旦发现这个选择无法得到期望结果，就回溯回去，重新做出选择。深度优先搜索利用的就是回溯算法思想。

适用场景#

回溯算法很简单，它就是不断的尝试，直到拿到解。它的这种算法思想，使它通常用于解决广度的搜索问题，即从一组可能的解中，选择一个满足要求的解。

使用回溯算法的经典案例#

深度优先搜索
0-1 背包问题
正则表达式匹配
八皇后
数独
全排列

这里以正则表达式匹配为例，介绍一下

正则表达式匹配#

var string = "abbc"
var regex = /ab{1,3}c/
console.log( string.match(regex) )
// \\["abbc", index: 0, input: "abbc", groups: undefined\\]

它的匹配过程：

在第 5 步匹配失败，此时 b{1,3} 已经匹配到了两个 b 正在尝试第三个 b ，结果发现接下来是 c 。此时就需要回溯到上一步， b{1,3} 匹配完毕（匹配到了 bb ），然后再匹配 c ，匹配到了 c 匹配结束。

动态规划#

算法策略#

动态规划也是将复杂问题分解成小问题求解的策略，与分治算法不同的是，分治算法要求各子问题是相互独立的，而动态规划各子问题是相互关联的。

所以，动态规划适用于子问题重叠的情况，即不同的子问题具有公共的子子问题，在这种情况下，分治策略会做出很多不必要的工作，它会反复求解那些公共子子问题，而动态规划会对每个子子问题求解一次，然后保存在表格中，如果遇到一致的问题，从表格中获取既可，所以它无需求解每一个子子问题，避免了大量的不必要操作。

适用场景#

动态规划适用于求解最优解问题，比如，从面额不定的 100 个硬币中任意选取多个凑成 10 元，求怎样选取硬币才可以使最后选取的硬币数最少又刚好凑够了 10 元。这就是一个典型的动态规划问题。它可以分成一个个子问题（每次选取硬币），每个子问题又有公共的子子问题（选取硬币），子问题之间相互关联（已选取的硬币总金额不能超过 10 元），边界条件就是最终选取的硬币总金额为 10 元。

针对上例，也许你也可以说，我们可以使用回溯算法，不断的去试探，但回溯算法是使用与求解广度的解（满足要求的解），如果是用回溯算法，我们需要尝试去找所有满足条件的解，然后找到最优解，时间复杂度为 O (2^n^) ，这性能是相当差的。大多数适用于动态规划的问题，都可以使用回溯算法，只是使用回溯算法的时间复杂度比较高而已。

最后，总结一下，我们使用动态规划求解问题时，需要遵循以下几个重要步骤：

定义子问题
实现需要反复执行解决的子子问题部分
识别并求解出边界条件

使用动态规划求解的一些经典问题#

爬楼梯问题：假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
背包问题：给出一些资源（有总量及价值），给一个背包（有总容量），往背包里装资源，目标是在背包不超过总容量的情况下，装入更多的价值
硬币找零：给出面额不定的一定数量的零钱，以及需要找零的钱数，找出有多少种找零方案
图的全源最短路径：一个图中包含 u、v 顶点，找出从顶点 u 到顶点 v 的最短路径
最长公共子序列：找出一组序列的最长公共子序列（可由另一序列删除元素但不改变剩下元素的顺序实现）

这里以最长公共子序列为例。

爬楼梯问题#

这里以动态规划经典问题爬楼梯问题为例，介绍求解动态规划问题的步骤。

第一步：定义子问题

如果用 dp[n] 表示第 n 级台阶的方案数，并且由题目知：最后一步可能迈 2 个台阶，也可迈 1 个台阶，即第 n 级台阶的方案数等于第 n-1 级台阶的方案数加上第 n-2 级台阶的方案数

第二步：实现需要反复执行解决的子子问题部分

dp[n] = dp[n−1] + dp[n−2]

第三步：识别并求解出边界条件

// 第 0 级 1 种方案
dp[0]=1
// 第 1 级也是 1 种方案
dp[1]=1

最后一步：把尾码翻译成代码，处理一些边界情况

let climbStairs = function(n) {
    let dp = [1, 1]
    for(let i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    }
    return dp[n]
}

复杂度分析：

时间复杂度：O (n)
空间复杂度：O (n)

优化空间复杂度：

let climbStairs = function(n) {
    let res = 1, n1 = 1, n2 = 1
    for(let i = 2; i <= n; i++) {
        res = n1 + n2
        n1 = n2
        n2 = res
    }
    return res
}

空间复杂度：O (1)

枚举算法#

算法策略#

枚举算法的思想是：将问题的所有可能的答案一一列举，然后根据条件判断此答案是否合适，保留合适的，丢弃不合适的。

解题思路#

确定枚举对象、枚举范围和判定条件。
逐一列举可能的解，验证每个解是否是问题的解。

Lainbo's Blog